Hoje tivemos a P3. As notas já estão disponíveis aqui, quem quiser ver a prova me procure hoje (quinta 4/12) à tarde, entre 14h e 15h30. A Verificação Suplementar (VS) será na segunda-feira 8/12, iniciando às 13h na sala 401. O resultado deve sair na própria segunda-feira ou na terça de manhã, com vista de prova às 13h de terça.
Problema 12.47: correndo com a luz, como Einstein sonhava em fazer.
Problema 12.42: campo de capacitor de placas planas em movimento (E não é mais paralelo à normal das placas).
Problema 11.13: elétron desacelerado, fração da energia cinética perdida por radiação.
Problema 11.21: dipolo oscilando perto de uma superfície, distribuição angular da luz emitida.
Prob. 11.24: campos retardados de corrente superficial.
Prob. 12.46: usando invariantes de Lorentz.
Prob. 12.44: 2 cargas em 2 referenciais diferentes, calculando forças.
Prob. 12.37: outra corrida contra a luz.
A prova é na próxima quarta-feira, 3/12, a partir das 13h.
Problema 12.32, a pedidos. É um problema de colisão, usando conservação de energia e momento relativísticos.
Em seguida discutimos uma configuração em que uma carga sofre uma força magnética num referencial, e elétrica em outro. Isso nos motivou a estudar a transformação geral dos campos elétrico e magnético, usando duas hipóteses: que a carga é invariante de Lorentz, e que a transformação dos campos independe de qual fonte os criou.
Usando várias configurações de fontes (capacitores e solenóides), encontramos as regras de transformação dos campos elétrico e magnético sob transformações de Lorentz.
Exemplo 12.13: transformando o campo de Coulomb de carga estática para um outro referencial inercial, reencontramos de forma simples o campo elétrico de uma carga em movimento uniforme (que antes tínhamos encontrado, com muito esforço, via potenciais de Liénard-Wiechert.
O que vimos está no Griffiths, seções 12.3.1 e 12.3.2. Esta será a última seção que estudaremos no curso. Na próxima aula (sexta 28/11) teremos o 4o e último mini-teste no início da aula.
O jogo conceitual "A slower speed of light", desenvolvido pelo MIT, mostra efeitos relativísticos devido ao movimento do personagem que você controla no jogo. É bem curioso!
Sobre a P3: a prova é na quarta 3/12 e vai começar às 13h.
Problema 12.34: a vantagem de fazer colisões com 2 partículas em movimento relativo.
Dinâmica relativística: como ficam as leis de Newton para o caso relativístico. Exemplo 12.10: massa sob força constante.
Como se transformam as forças. Força própria (ou de Minkowski).
Exemplo 12.11: movimento de cíclotron.
Exemplo 12.12: momento oculto = momento total de partículas carregadas em movimento, e que constituem uma corrente num circuito. Esse exemplo nos ajuda a entender o exemplo 8.3, onde encontramos o momento eletromagnético de uma configuração estática de campos diferente de zero.
Discutimos qualitativamente uma configuração de cargas e correntes que, observada por observadores em referenciais diferentes, parece dar origem a campo elétrico ou magnético, dependendo do observador. Veremos isso com mais cuidado na próxima aula.
O que vimos está no Griffiths, seção 12.2.4.
Um lembrete: teremos nosso 4o mini-teste na próxima sexta-feira, no início da aula.
Exemplo 12.4: agora que temos as transformações de Lorentz, fica fácil mostrar os efeitos que já estudamos: relatividade da simultaneidade, dilatação temporal, fórmula para adição de velocidades relativísticas.
Problema 12.10: como muda inclinação de um mastro de barco, quando observada por observadores em movimento relativo em relação ao barco?
Problema 12.16: revisitando o paradoxo dos gêmeos.
Quadri-vetores e transformações de Lorentz em forma matricial. Vetores covariantes e contravariantes. Produto escalar de 4-vetores. Intervalo invariante, e significado de intervalos tipo tempo, tipo espaço e tipo luz.
Diagramas de Minkowski. Passado e futuro, linha de universo, cone de luz. Como é a forma do conjunto de eventos com o mesmo intervalo invariante em relação a um evento fixo. Noção de causalidade em diagramas de Minkowski.
Problema 12.22: como representar uma conversa em diagramas de Minkowski? Se uma pessoa correr mais rápido do que a luz, pode voltar antes de ter partido?
Mecânica relativística: tempo próprio, velocidade ordinária, 4-velocidade. Problema 12.26: produto escalar da 4-velocidade com ela mesma.
Energia e momento relativístico. Energia de repouso e energia cinética; recuperando a fórmula da energia cinética não-relativística.
Problemas 12.2 e 12.8: colisão simples observada em 2 referenciais inerciais. Vimos que se o momento ordinário é conservado em S, ele não será conservado em S', se usarmos a fórmula relativística de adição de velocidades.
Exemplos de cinemática relativística. Exemplo 12.7: 2 massas colidem e ficam juntas. Relação entre momento e energia para partículas sem massa (fótons). Exemplo 12.8: decaimento de píon em múon e neutrino. Exemplo 12.9: espalhamento Compton.
O que vimos está no Griffiths, seções 12.1.3 a 12.2.3.
Introdução à teoria da relatividade restrita. Os postulados. Relatividade da simultaneidade. Adição de velocidades.
Problemas 12.5 e 12.6.
Dilatação temporal, exemplo 12.1. Exemplo 12.2 (paradoxo dos gêmeos).
Problema 12.8 (astronauta telefonando para a mãe).
Contração de Lorentz. Paradoxo da escada no celeiro (ou da cobra entre 2 facas que descem simultaneamente - para quem?).
Encontrando as transformações de Lorentz.
O que vimos está nas seções 12.1.1 a 12.1.3 do Griffiths.
Vejam os problemas sugeridos do cap. 12, mãos à obra!
Hoje tivemos o mini-teste 3 e depois não houve quorum para a continuação da aula… combinamos de fazer o seguinte: vocês leiam o Griffiths, seções 12.1.1 e 12.1.2 (só a parte (i), sobre relatividade da simultaneidade). Façam os problemas 12.3 e 12.5 (que é bem fácil). No início da próxima aula (que é na segunda-feira 10/11) vamos discutir esses problemas brevemente, continuando com a introdução à relatividade a partir daí.
Na semana passada não tivemos aula, devido ao feriado de segunda-feira e à minha viagem para conferência.
Hoje discutimos um pouco sobre problemas do mini-teste da próxima quarta-feira.
Modelo físico para reação de radiação. Estudamos uma carga composta de 2 pedaços, e analisamos a força (devido ao tempo retardado) que um pedaço faz no outro. Vimos que recuperamos a fórmula de Abraham-Lorentz, com um erro por fator 2. Recuperamos o fator 2 resolvendo o problema 11.20 b). Note, no entanto, que ao resolvermos o mesmo problema para distribuições diferentes de carga, obtêm-se fatores numéricos diferentes. Veja D. J. Griffiths e R. E. Owen, Am. J. Phys. 51, 1120 (1983) e
este artigo de Rohlich (1997).
Como parênteses matemáticos, discutimos como resolver o problema de reversão de série.
O que vimos na aula de hoje está no Griffiths, seção 11.2.3.
Aproveito para lembrar que na sexta-feira 7/11 não haverá aula, pois estarei numa visita acadêmica à Universidade Federal de Uberlândia.
Reação de radiação. Usamos argumento de conservação de energia para achar a expressão mais simples para a força que freia uma partícula que irradia. Essa força de reação de radiação é dada pela fórmula de Abraham-Lorentz.
Vimos que a fórmula de Abraham-Lorentz, para partículas que não estão sob forças externas, leva a uma aceleração exponencial (as chamadas “run-away solutions”).
Exemplo 11.4: encontramos o amortecimento por radiação de carga em oscilação forçada, presa a mola de frequência natural omega_zero.
Problema 11.19: usamos a fórmula de Abraham-Lorentz para achar o movimento de partícula carregada sob força externa. Vimos que ou temos soluções tipo “run-away”, ou temos soluções com pré-aceleração acausal (ou os dois…). Isso mostra um problema do eletromagnetismo clássico, indicando que ao estudarmos radiação de cargas pontuais estamos chegando aos limites de aplicabilidade da teoria.
Problema 11.17: partícula em movimento circular (e sua radiação). Queda livre e um aparente paradoxo - a partícula emite radiação, mas não sofre reação de radiação.
O que vimos está no Griffiths, seção 11.2.2.
Radiação de carga pontual - consideramos a situação mais simples de partícula parada no tempo retardado. Re-obtivemos a fórmula de Larmor para potência total irradiada. Vimos como obter também a generalização de Liénard para a fórmula de Larmor, que vale também para velocidades relativísticas.
Exemplo 11.3: radiação de carga pontual quando v e a são colineares (por exemplo, Bremsstrahlung).
Problema 11.15: encontrando o ângulo para o qual a radiação de Bremstrahlung é máxima.
Problema 11.16: radiação de carga pontual para v e a perpendiculares entre si (aplicação: radiação síncrotron).
O que vimos está no Griffiths, seção 11.2.1.
No retorno da semana de recesso, de Agenda Acadêmica:
Tivemos vista de prova e uma discussão breve sobre os problemas da prova.
Continuando o cálculo dos campos E e B de radiação de distribuições arbitrárias de carga e corrente. Obtivemos E, B, S e a potência total irradiada.
Exemplo 11.2: recuperamos P de dipolo elétrico, e obtivemos a importante fórmula de Larmor, que dá a potência total irradiada P de uma carga pontual acelerada.
O cálculo que fizemos poderia ter sido estendido para incluir termos de quadrupolo, octopolo etc elétrico e magnético, mas paramos no cálculo do termo de dipolo elétrico.
O que vimos está no Griffiths, seção 11.1.4.
Aviso: na semana de 27 a 31/10 estarei em uma conferência, e não teremos aula (o dia 27/10 é um feriado de qualquer forma). O 3o mini-teste está marcado para o início da aula da quarta 5/11.
Radiação. Consideraremos distribuições localizadas de cargas e correntes, e estamos interessados no fluxo do vetor de Poynting através de esfera no infinito. Primeiro vamos considerar algumas distribuições interessantes e simples de cargas e correntes, para depois considerar distribuições arbitrárias, e posteriormente analisar com mais detalhes o caso de partícula carregada em movimento.
Radiação de dipolo elétrico. Construímos um modelo físico de dipolo, com duas pequenas esferas metálicas separadas de distância d, com carga oscilando entre elas. Usamos 3 aproximações para obter os potenciais retardados de um dipolo elétrico idealizado, e a partir dos potenciais calculamos E e B de radiação, e a partir deles o valor médio do vetor de Poynting (que nos dá o espectro angular da radiação). Integrando o vetor de Poynting numa grande esfera obtivemos a potência irradiada.
Exemplo 11.1: por que o céu é azul? tem a ver com a distribuição angular da radiação dos dipolos (moléculas da atmosfera).
Problema 11.3: Resistência de radiação do dipolo elétrico.
Radiação de dipolo magnético: refizemos a sequência de cálculos que fizemos para o dipolo elétrico, mas agora para o magnético (uma pequena espira de corrente). Obtivemos o espectro angular da radiação, e a potência total irradiada. Comparando dipolos elétrico e magnético com propriedades semelhantes (tamanho, corrente), vimos que a potência irradiada pelo dipolo elétrico é muito maior do que a do dipolo magnético.
Radiação de fonte arbitrária. Fazemos uma expansão de Taylor de rho em torno do tempo retardado da origem, e guardamos só até o termo proporcional à primeira derivada temporal. Uso a aproximação de estarmos na zona de radiação, e com isso obtemos expressões aproximadas para V e A de distribuição arbitrária, úteis para o cálculo dos termos de radiação; continuaremos o cálculo na próxima aula.
O que vimos está nas seções 11.1.1 a 11.1.4 do Griffiths.
Hoje tivemos a nossa segunda prova, os resultados estão aqui.
Hoje fizemos vários problemas dos cap. 9 e 10, como revisão para a prova de segunda. A nossa 2a prova será na segunda-feira 6/10, a partir das 13h, ou seja, cheguem mais cedo, assim podemos ter mais de 2h de prova. Pretendo aplicar a prova na sala A5-01, se não estivermos lá é porque houve um impedimento, nesse caso usaremos a nossa sala habitual (401).
Continuamos o cálculo dos campos de carga pontual em movimento arbitrário. Vimos que o campo elétrico tem 2 termos, um proporcional a 1/r^2 (campo de velocidades, ou campo de Coulomb generalizado); e um proporcional a 1/r, o campo de aceleração ou de radiação. O campo B é perpendicular a r e ao campo elétrico.
Exemplo 10.4: calculamos o campos E, B de carga pontual em movimento uniforme. Vimos que E aponta da posição atual da partícula, coincidentemente (embora seja obtido a partir dos potenciais retardados).
Problema 10.11: situação não-estática em que a Lei de Coulomb ainda vale (quando J é constante no tempo, mas rho não).
Acabamos a matéria da prova, na aula de sexta vamos somente fazer problemas.
A nossa 2a prova será na segunda-feira 6/10, a partir das 13h, ou seja, cheguem mais cedo, assim podemos ter mais de 2h de prova.
Potenciais de Liénard-Wiechert: fizemos um argumento para encontrar o fator geométrico que faz com que a integral de rho no tempo retardado seja diferente da integral de rho em tempo fixo (que é a carga total).
Potenciais de carga pontual com velocidade constante. A expressão que obtivemos fica bem mais simples com o resultado do problema 10.14 - ela só depende da distância R do ponto r à posição atual da partícula.
Campos elétrico e magnético de carga pontual em movimento. Poderíamos obtê-los usando as equações de Jefimenko, mas é mais fácil (ainda que bastante trabalhoso) fazê-lo a partir dos potenciais de Liénard-Wiechert. Hoje fizemos a maior parte do cálculo, deixando o potencial escalar em função do gradiente do tempo retardado.
O que vimos está no Griffiths, seções 10.3.1 e 10.3.2.
Exemplo 10.2: campos E, B de fio reto em que estabelecemos uma corrente I repentinamente.
Equações de Jefimenko, i.e. equação fechada para E, B de distribuições arbitrárias de cargas e correntes.
Introdução aos potenciais de Lienard-Wiechert.
O que vimos está no Griffiths, seções 10.2.1, 10.2.2 e 10.3.1.
Hoje tivemos o nosso 2o mini-teste, as notas já estão disponíveis
aqui.
Potenciais retardados. Usamos o calibre de Lorenz, e encontramos a equação para V e A, que é a equação de onda inomogênea. Encontramos as fórmulas fechadas para os potenciais V e A, em termos das distribuições retardadas de corrente e carga. Nosso cálculo explícito provou que V satisfaz à equação correspondente; cálculos análogos provam isso também para os componentes de A.
O que vimos está no Griffiths, seção 10.2.1.
Um link para os interessados: o site xkcd dá respostas técnicas detalhadas para perguntas dos leitores, muitas vezes usando estimativas físicas sofisticadas. Esta é uma pergunta sobre a intensidade luminosa de muitos laser pointers apontados para a parte escura da lua - é só muito tangencialmente relacionada ao vetor de Poynting etc, mas dá uma ideia do conteúdo do site.
Potenciais escalares e vetoriais. Vimos como obter E e B em termos dos potenciais V e A. Obtivemos as equações que V e A devem satisfazer (equivalentes às equações de Maxwell).
Exemplo 10.1: potenciais de corrente superficial constante, a partir de t=0.
Transformações de calibre: explorando as liberdades que temos ao definir o par V,A. Vimos qual a transformação mais geral que não muda os campos físicos; ambos V e A devem se transformar, em geral.
Problema 10.3: potenciais pouco usuais para o problema de carga pontual estacionária.
Calibre de Coulomb e calibre de Lorenz. Vimos que V e A satisfazem a equação do D'Alembertiano, no calibre de Lorenz.
Problema 10.6: sempre podemos escolher A satisfazendo a condição do calibre de Lorenz.
O que vimos está no Griffiths, seções 10.1.1, 10.1.2, e 10.1.3.
Guias de onda: “encanamentos” de condutor onde pode haver propagação de ondas eletromagnéticas. Escrevemos as equações de Maxwell para o oco, e os campos devem também satisfazer as condições de contorno na superfície do guia. Vimos que os campos não são necessariamente transversos. Pode haver modos TM, TE e TEM. Provamos que ondas TEM não ocorrem em guias ocos.
Resolvemos o problema de ondas TE em guias retangulares, e discutimos brevemente um guia de onda coaxial que permite modos TEM.
O que vimos está no Griffiths, seções 9.5.1 e 9.5.2.
Modelo de permissividade elétrica baseado em oscilador harmônico forçado e amortecido: continuamos a elaboração do modelo, achando a permissividade elétrica correspondente. Vimos o comportamento de n e do coeficiente de absorção alfa como função da frequência, em particular o surgimento de regimes de dispersão anômala perto das ressonâncias.
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O que vimos corresponde à seção 9.4.3 do Griffiths.
Ondas EM em condutores. As cargas livres rapidamente se espalham pelo condutor. Usamos a lei de Ohm para escrever as eqs. de Maxwell para condutores ôhmicos. Encontramos soluções de ondas planas atenuadas, onde o coeficiente de atenuação e o número de onda são a parte imaginária e complexa do vetor de onda complexo.
Em seguida tratamos o problema de reflexão e transmissão na interface de um dielétrico e de um condutor ôhmico. Obtivemos as amplitudes refletida e transmitida como função da amplitude incidente. No caso de um condutor perfeito, a reflexão tem inversão de fase.
Dependência da permissividade elétrica com a frequência. Começamos a desenvolver um modelo microscópico simples, e clássico, para tentar explicar como é a dependência da permissividade (e do índice de refração) com a frequência. Basicamente, tratamos elétrons presos em uma molécula de dielétrico, sob a força elétrica harmônica de uma onda plana, como um oscilador harmônico forçado e amortecido.
O que vimos está nas seções 9.4.1, 9.4.2, e 9.4.2 do Griffiths.
Nosso mini-teste do capítulo 9 será na quarta-feira, 24/9 no início da aula. Assim que possível divulgarei a lista de problemas que podem ser cobrados no mini-teste.
Problema 9.33: onda eletromagnética esférica simples.
Problema 9.34: incidência normal em placa de dielétrico. Vimos que aqui há um fenômeno de ressonância, em que para certas larguras da placa dielétrica (dada em termos do comprimento de onda), a transmissividade é perfeita.
Aplicando as condições de contorno para propagação de ondas EM através de interface entre 2 meios dielétricos lineares, para o caso de polarização no plano de incidência. Obtivemos as amplitudes de reflexão e transmissão em função da amplitude da onda incidente.
Vimos que há inversão de fase da onda refletida para certa faixa de ângulos de incidência. Como consequência, há um ângulo em que não há onda refletida, o ângulo de Brewster.
O que vimos na aula de hoje está no Griffiths, seção 9.3.3.
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Leiam aqui sobre outros fenômenos óticos interessantes:
a glória e
halos.
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Ondas EM na matéria. Reflexão e transmissão para incidência normal.
Reflexão e trasmissão para incidência oblíqua. Forma geral das condições de contorno nos dão as 3 leis da ótica: vetores de onda incidente, refletido e transmitido no mesmo plano; ângulo de reflexão = ângulo de incidência; Lei da refração, ou lei de Snell.
O que vimos está no Griffiths, seções 9.3.2 e 9.3.3.
Ondas EM no vácuo: mostramos que os campos EM satisfazem a eq. de onda.
Descrição de ondas planas monocromáticas.
Energia e momento de ondas planas monocromáticas; intensidade, pressão de radiação.
O que vimos está nas seções 9.2.1, 9.2.2, 9.2.3 do Griffiths.
Retomamos a descrição de ondas senoidais, descrevendo como é útil usar a notação complexa.
Como escrever a solução geral para ondas se propagando em um sistema de duas cordas ligadas em z=0. Cada corda tem sua própria densidade linear de massa, logo velocidade de propagação de ondas. As condições de contorno são: continuidade da corda e continuidade da sua derivada em todos os pontos, em particular o ponto onde as cordas se conectam.
Encontramos as amplitudes das ondas refletida e transmitida, em função da amplitude da onda incidente. Vimos quando há, e quando não há, inversão na fase da onda refletida.
Polarização de ondas, ainda com o exemplo de ondas na corda.
O que vimos está nas seções 9.1.2, 9.1.3 e 9.1.4 do Griffiths.
As notas da P1 já estão disponíveis, a vista de prova será nessa sexta-feira.
Como prometi em sala, abaixo alguns links interessantes, relacionados ao conteúdo da aula de hoje.
Atenção: por motivo de doença, não haverá aula na sexta.
Momento angular: sua existência segue da densidade de momento linear. Não obtivemos uma equação de conservação de momento angular, vamos simplesmente estudar alguns exemplos.
Exemplo 8.4: desligando o I de um solenóide, eliminamos o momento angular dos campos eletromagnéticos de uma configuração de solenóide + 2 cascas cilíndricas carregadas. O campo elétrico induzido dá momento angular às cascas, e verificamos que o momento angular total dado às cascas é exatamente o momento angular total eletromagnético presente inicialmente.
Problema 8.7: mesma configuração inicial, mas agora eliminamos o momento angular eletromagnético descarregando o capacitor cilíndrico via um fio ligando as cascas. Calculamos o momento angular transferido para o fio, e novamente é o mesmo que aquele presente inicialmente nos campos.
Breve revisão sobre ondas unidimensionais (1D): equação de onda 1D, ondas senoidais.
O que vimos está nas seções 8.2.4, 9.1.1 e 9.1.2 do Griffiths.
Hoje tivemos uma aula de revisão para a prova, em que solucionamos vários problemas dos capítulos 7 e 8. Discutimos os seguintes problemas do Griffiths: 8.4, 8.6, 7.32, 8.2, 8.5, 7.50.
Na próxima sexta-feira, 29/8 teremos nossa primeira prova. Começaremos a prova às 13h30, para podermos ter mais tempo de prova, caso necessário.
Conservação de momento. A densidade de momento e a densidade de corrente de momento.
Exemplo 8.2: calculando a força eletromagnética de um hemisfério sobre o outro, ambos uniformemente carregados. Já tínhamos feito isso no cap. 2, agora fizemos novamente, mas usando uma integral de superfície do tensor das tensões. Usamos até duas superfícies diferentes, ilustrando o fato do resultado ser o mesmo independentemente da superfície, desde que ela contenha todas as cargas e correntes que nos interessam.
Exemplo 8.3: cabo coaxial e carregado como um capacitor cilíndrico. Vimos que os campos E e B, embora estáticos, têm momento eletromagnético.
O que vimos está nas seções 8.2.2 e 8.2.3 do Griffiths.
Na próxima aula vamos ver mais exemplos e problemas do cap. 8, e também do 7 como revisão para a prova.
Começamos a aula fazendo o mini-teste 1.
Encontramos uma expressão para a densidade de forças eletromagnéticas, em termos de rho, J, E, B. Transformamos essa expressão, usando as equações de Maxwell, até termos uma expressão em termos dos campos somente. Para transformar mais essa expressão, precisamos definir o tensor das tensões de Maxwell.
Operações simples com tensores: como combinar um tensor e um vetor para dar um vetor (há duas formas, com o produto escalar à direita e à esquerda). Tirando o divergente do tensor de tensões encontramos a lei de conservação de momento.
O que vimos nesta aula está na seção 8.2.2 do Griffiths.
Problema 7.42: condutor perfeito e supercondutor.
Leis de conservação. Nosso paradigma é a lei de conservação local de carga.
Encontramos o teorema de Poynting, que estabelece uma expressão para a taxa de trabalho feito pela força de Lorentz, ou seja, pelo campo eletromagnético. Essa expressão nos permite reconhecer a densidade local de energia (como função dos campos E e B), e uma expressão para a taxa de transporte de energia por tempo e por unidade de área.
Exemplo 8.1: calculamos a potência dissipada num pedaço de fio, integrando o fluxo de energia eletromagnética que entra no fio, por unidade de tempo.
Vimos que a 3a Lei de Newton não parece valer na eletrodinâmica, usando um exemplo simples de duas cargas pontuais em movimento, próximas uma da outra. Mais adiante veremos que, ao associar momento ao campo eletromagnético, esses problemas se resolvem.
O que vimos está nas seções 8.1.1, 8.1.2 e 8.2.1 do Griffiths.
No início da próxima aula teremos nosso primeiro mini-teste.
Equações de Maxwell + força de Lorentz + propriedades eletromagnéticas da matéria = todo o eletromagnetismo!
Monopolos magnéticos: como ficariam as equações de Maxwell caso eles sejam descobertos.
Problema 7.36: uma forma de detetar cargas magnéticas.
Problema 7.34: lidando com campo dado por função degrau.
Equações de Maxwell na matéria. Vimos que a variação temporal da polarização leva a um novo tipo de corrente, a corrente de polarização. Podemos então escrever a distribuição de cargas com 2 termos: livres e presas; e a distribuição de corrente com 3 termos: livre, presa, e de polarização. Com isso, e introduzindo os campos D e H, encontramos as equações de Maxwell para a matéria.
Condições de contorno na interface de dois meios: encontramos as condições de continuidade/descontinuidade dos componentes paralelos e perpendiculares dos campos E, B, D e H. Meios lineares permitem uma simplificação dessas condições de contorno, pois todas passam a ser expressas de forma simples usando-se somente B e E. Essas condições serão o que usaremos para encontras as principais leis da ótica geométrica, para descrever o comportamento de ondas eletromagnéticas quando mudam de meio.
O que vimos nesta aula está nas seções 7.3.3, 7.3.4, 7.3.5 e 7.3.6 do Griffiths. Com isso acabamos o conteúdo do cap. 7, na próxima aula faremos alguns problemas e iniciaremos o estudo do cap. 8, que é sobre leis de conservação. Já temos todo o básico do eletromagnetismo, toda a segunda parte do Griffiths é uma exploração das consequências e aplicações das equações de Maxwell.
Exemplo 7.13: energia armazenada na configuração de campo magnético em cabo coaxial.
Eletrodinâmica antes de Maxwell: vimos que havia uma inconsistência matemática nas equações. Maxwell as “consertou” acrescentando o termo de corrente de deslocamento à Lei de Ampère.
Exemplo 7.14: campo eletromagnético de configuração de cargas e correntes com simetria esférica.
Problema 7.31: modelo de capacitor com “fio gordo”.
O que vimos está nas seções 7.2.4, 7.3.1 e 7.3.2 do Griffiths.
Exemplo de cálculo de auto-indutância de um circuito: solenóide toroidal de seção reta quadrada (exemplo 7.11 do Griffiths).
Exemplo 7.12: circuito RL.
Problema 7.21: outro de indutância mútua.
Energia do campo magnético: encontramos duas fórmulas equivalentes, uma em termos de A e J, e outra em termos de B.
O que vimos está nas seções 7.2.3 e 7.2.4 do Griffiths.
O nosso primeiro mini-teste será na sexta 22/8, no início da aula. Vejam a página de listas de exercício para a lista de possíveis problemas do mini-teste.
Exemplo 7.7: exemplo simples de cálculo de E dado dB/dt.
Exemplo 7.8: alertando para o fato de dB/dt em região delimitada determinar E em todo o espaço.
Alerta: estamos no regime quase-estático, usando a lei de Ampère como se a corrente fosse estacionária.
Exemplo 7.9: um exemplo de como o cálculo no regime quase-estático dá um resultado absurdo (E divergente).
* Resolvemos o problema 7.17
Indutância: é a constante de proporcionalidade entre a corrente em um circuito e o fluxo em um outro circuito (indutância mútua) ou no próprio circuito (auto-indutância, ou simplesmente indutância).
Exemplo 7.10: usando o fato da indutância ser mútua.
O que vimos está nas seções 7.2.2 e 7.2.3 do Griffiths.
Exemplo 7.4.
Resolvemos o problema 7.10, de um gerador de corrente alternada.
Lei de Faraday: discutimos 3 experimentos feitos por Faraday, e encontramos a lei de Faraday, que pode ser expressa na forma integral ou diferencial. Discutimos qualitativamente a Lei de Lenz, que ajuda a encontrarmos as direções da fem induzida.
Discutimos algumas demonstrações da Lei de Faraday/Lenz: anel que salta, ímã que cai em tubo metálico.
A semelhança entre nossa nova equação para o rotacional de E, e a equação para o campo B em magnetostática, permite que usemos análogos à Lei de Biot-Savart e Ampère para calcular o campo elétrico induzido por B(t).
O que vimos está na seção 7.2 do Griffiths.
Vejam links para dois vídeos demonstrando aplicações da indução magnética:
Este
segundo vídeo mostra como amassar latas de alumínio sem tocá-las! Você saberia explicar porque as latas ficam amassadas, sem que nada as toque?
Continuando o cap. 7 do Griffiths:
Resolvi os problemas 7.3, sobre a relação entre resistência e capacitância de uma configuração com 2 eletrodos.
Força eletromotriz (fem), e como o campo elétrico estabelece uma corrente que é a mesma em todo o circuito.
Definição de fem como o trabalho feito pela fonte, por unidade de carga.
Fem de movimento: um modelo simples de gerador, com movimento de circuito retangular em região com campo magnético constante. Vimos que se você move o circuito para fora da região com campo (diminuindo o fluxo de B no circuito), surge uma corrente elétrica, devido à força magnética. Vimos que a fem pode ser calculada diretamente, se sabemos a variação do fluxo magnético.
Vimos uma prova geral que isso permanece verdade para circuitos que mudam de formato, para B variável e em qualquer direção.
O que vimos está na seção 7.1 do Griffiths.
Bem-vindos ao curso! O eletromagnetismo é uma das teorias mais bonitas já desenvolvidas, e será um prazer estudar sua formulação e suas múltiplas aplicações com vocês.
Começamos a aula com uma apresentação minha e do conteúdo do curso, datas de prova, livro texto, etc - tudo isso está disponível, de forma permanente, na primeira página deste site.
Começamos o conteúdo discutindo:
Lei de Ohm - uma regrinha, descoberta empiricamente, que descreve o comportamento da maior parte dos materiais que conhecemos, em relação a como surge uma corrente neles quando empurramos as cargas em seu interior (usualmente, com um campo elétrico.
2 exemplos de cálculo da corrente (7.1 e 7.2 do Griffiths), e como ela é proporcional a V - a constante de proporcionalidade depende da condutividade do material, e da forma (geometria) do corpo.
Exemplo 7.3: mostramos que o campo no interior do condutor cilíndrico do exemplo 7.1 é uniforme.
Discutimos 2 modelos de condução elétrica em materiais, para entender por que é plausível que a Lei de Ohm seja válida. A explicação melhor, claro, é aquela dada pela mecânica quântica, mas não estudaremos isso aqui.
Problema 7.1 do Griffiths: cálculo de I como função de V para configuração de cascas esféricas concêntricas.
O que vimos corresponde à seção 7.1 do livro do Griffiths.